Educação Matemática

Com a Professora Gloria Filgueiras.

domingo, 28 de fevereiro de 2010

Probabilidade

Estou anexando os vídeos de probabilidade, que poderá ajudar vocês a entenderem de forma mais ampla as explicações dadas em sala de aula.
Esses videos tem explicações com exemplos práticos e muito bem elaborados. Segue:

Vídeo

Lista de alguns exercícios com respostas.

1) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? p = 1/52

2) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? p = 4/52 = 1/13

3) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:

a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa. p = 4/12 = 1/3

b. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. p = 1 - 1/3 = 2/3

4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

p = 4/36 = 1/9

5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?

p1 = 4/52 = 1/13 p2 = 1/52 p = p1 x p2 = 1/676

6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

p1 = 3/9 = 1/3 p2 = 2/8 = 1/4 p3 = 4/9 p = p1 x p2 x p3 = 1/27

7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?

p1 = 1/52 p2 = 1/51 p = p1 x p2 = 1/2652

8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

pr = 4/52 = 1/13 pd = 1/13 pv = 1/13 p = p1 + p2 + p3 = 3/13

ou p = 12/52 = 3/13

9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Pc = 13/52 = 1/4 po = 13/52 = 1/4 p = pc+ po= 1/2

10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não-inferior a 5? p = 1/6 + 1/6 = 1/3

11) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?

p1 = 4/52 x 4/52 = 1/169 p2 = 4/52 x 4/52 = 1/169 p = p1 + p2 = 2/169

12) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10.

n(10) = 3 Þ p10 = 3/36

n(11) = 2 Þ p11 = 2/36 p = p1 + p2 + p3 = 6/36 = 1/6

n(12) = 1 Þ p12 = 1/36


sexta-feira, 12 de fevereiro de 2010

Análise Combinatória


Análise combinatória
1 - Introdução
Em análise combinatória ou simplesmente combinatória estaremos envolvidos com problemas de contagem. Esse assunto é objeto de discussão e interesse há muitos anos, principalmente entre pessoas que disputam jogos de azar e almejavam saber as chances de vitória nas partidas que disputavam. Tem larga aplicação nos estudos de probabilidade e estatística. Além disso, problemas de contagem fazem parte do nosso cotidiano. Desde muito cedo aprendemos a contar e, aprendendo boas técnicas, podemos realizar contagens com eficiência, brevidade e precisão. É importante notar, ao resolver questões desse assunto, que apesar de haver uma infinidade de situações diferentes entre si, eles podem ter semelhanças em vários pontos. Dessa forma para que possa obter sucesso nesse assunto, não se esqueça de resolver muitas questões. Busque sempre semelhanças entre elas.
2 - Quando somar e quando multiplicar em combinatória
2.1 - Quando somamos resultados combinatórios lançamos mão do chamado princípio aditivo.

Video




Veja esse exemplo:
Adriana tem dinheiro apenas para ir ao parque de diversões e brincar em apenas um dos 7 brinquedos disponíveis ou ir ao cinema e assistir apenas um filme dos 5 disponíveis. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir?
Se Adriana tem dinheiro apenas para uma diversão ela tem de optar ou por brincar em um dos brinquedos do parque ou assistir a um filme do cinema. Assim ela tem 7 opções para ir ao parque e 5 opções para ir ao cinema. Dessa forma ela tem 7 + 5 maneiras de se divertir.
7 brinquedos distintos + 5 filmes distintos = 12 maneiras distintas de se divertir.
Para formalizar, observe a semelhança deste enunciado com o problema proposto anteriormente.
Dados dois conjuntos disjuntos (sem nenhum elemento comum; sem interseção) A e B, A contém m elementos e B contém p elementos. De quantos modos diferentes podemos escolher um elemento de A ou de B. Como queremos um elemento de A ou de B, temos (m + p) maneiras de escolher um dos elementos. Esse resultado nada mais é do que o número de elementos da união dos dois conjuntos disjuntos.

2.2 - Quando multiplicamos em análise combinatória estamos lançando mão do princípio multiplicativo ou teorema fundamental da contagem.
Observe o exemplo:
Um motorista deseja viajar de uma cidade A para a cidade C, mas para ir à cidade C deve-se passar necessariamente pela cidade B.
O motorista pode escolher entre três estradas para se deslocar de A para B e depois deve escolher uma entre as duas estradas para se deslocar de B para C.
Essa situação difere e muito da do exemplo anterior. Aqui para que o motorista vá da cidade A para a cidade C tem de passar necessariamente pela cidade B. Isto é, tem de realizar duas ações para deslocar-se de A para C. Primeiro deve escolher uma estrada de A para B e em seguida outra que liga B a C.
Vamos inserir para a resolução dessa questão o conhecido diagrama da árvore. Recebe esse nome pelas ramificações que lembram galhos de uma árvore. Veja:
Primeiro escolhemos uma estrada que sai de A e vai até B.
É crucial que você entenda que da cidade A para a cidade B, há três opções para o motorista, no entanto ele optara apenas por uma delas. Após a escolha surge uma nova dúvida para nosso amigo. Qual estrada usar para deslocar-se de B para C.
Assim com essas duas sucessivas escolhas, pelo diagrama da árvore, vemos que nosso motorista tem seis opções para fazer a viagem. Esse resultado é justamente o produto do número de opções para a escolha da primeira estrada pelo número de opções de escolha para a segunda. Portanto 3 x 2 = 6

Vamos voltar a situação de Adriana do penúltimo exemplo. Descontente com sua situação, a de ter dinheiro apenas para uma opção de lazer, foi ao seu pai tentar arrecadar mais dinheiro. Foi atendida e agora tem dinheiro para duas ações. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir sem realizar duas vezes a mesma brincadeira?
Note que diante do fato nossa amiga pode realizar duas ações diferentes. Assim primeiro deve escolher uma diversão e em seguida outra que também a agrade.
Primeira escolha: Possui 12 opções de lazer
Segunda escolha: Possui 11 opções ( não vai repetir a ação)
Veja que o diagrama da árvore ficaria imenso, se colocado todas as possibilidades, então ramificaremos apenas no brinquedo 5

Para a primeira escolha há 12 tipos de diversão. Supomos que foi escolhido o brinquedo 5 e após essa escolha vem a segunda ação. Não se esqueça que foi exigido que Adriana não repetisse a brincadeira. Restam agora 11 opções de escolha.
Tenha sempre em mente que há varias opções, mas só uma será escolhida. Estamos contando as possibilidades de escolha, não a escolha de Adriana, que será apenas uma. Dessa forma como Adriana optou pelo brinquedo 5, pode, logo em seguida, optar por outra escolhida dentre onze opções distintas. Só aí temos 11 opções de escolha ( Veja o diagrama). Se optasse pelo brinquedo 1 ao invés do 5, teria mais 11 opções para a segunda ação. São mais 11 opções de diversão. Se escolhesse o Brinquedo 2 aí seriam mais 11 opções.
Seguindo sucessivamente notamos que a cada primeira ação temos, para a segunda, 11 opções de lazer. Assim como são 12 as maneiras distintas de escolher a primeira ação concluímos que Adriana pode se divertir de
12 x 11 = 132 maneiras diferentes
Como dito anteriormente, a cada escolha da primeira ação decorre 11 opções de lazer. Assim:

Exercícios resolvidos – Questões de vestibulares
1. Quantos números de 4 algarismos podemos formar utilizando, uma única vez, os dígitos 3, 4, 5 e 6 ?
Resolução:
Como quereremos formar números com quatro algarismos teremos que preencher quatro casas com 3, 4, 5 e 6. Repare:Para a primeira casa temos 4 algarismos para preenchê-la. Já para a segunda, como os algarismos podem aparecer uma única vez e já utilizamos um para a primeira, restam 3 algarismos. Pelo mesmo raciocínio, na terceira restarão 2 e para a quarta e última casa 1 algarismo.
Finalmente, multiplicamos esses valores 4 • 3 • 2 • 1 = 24 números diferentes.

2) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com 3, 4, 5 e 7?
Resolução:
Diferentemente do enunciado do exercício 1, esse enunciado não exige que utilizemos os algarismos uma única vez.
Desse modo números tais como 2222, 3344 ou 1555 podem ser contabilizados em nossa contagem, o que anteriormente não era permitido. Desse modo teremos:
Isto é, podemos formar 4 x 4 x 4 x 4 = 44 = 256 números distintos. Se utilizássemos o diagrama da árvore (aqui não indicado pela extensão exagerada), essa árvore apresentaria 256 galhos terminais que representaria cada número formado.

3) Quantos números de três algarismos formam-se com 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
Resolução:
o raciocínio é praticamente idêntico ao anterior, mas com uma sutil diferença. Observe:

Esse raciocínio parece perfeito, mas esconde um erro, qual?
O problema é justamente o seguinte: Se considerarmos que para a primeira casa há 6 opções de escolha estaremos cometendo um erro, o de considerar um número tal como 012 como sendo um número de três algarismos.
Na verdade sabemos que 012 é um número de dois algarismos. Desse modo para corrigirmos nosso raciocínio devemos para primeira casa dispor cinco opções de escolha que são os seis algarismos disponíveis menos o Zero, observe:

Finalmente teremos 5 x 6 x 6 = 5 x 62 = 180 números distintos


4) Quantos números de três algarismos distintos podem-se formar com 0, 3 e 6?
Cuidado!... Na primeira casa não se pode usar o algarismo 0. Desse modo para a primeira temos 2 opções de escolha.
Já para a segunda também temos duas opções de escolha, uma vez que na segunda o 0 pode aparecer, mas o algarismo usado na primeira casa não pode ser usado novamente. Os algarismos devem ser distintos. Para a terceira e última casa tem-se uma opção de escolha. Desse modo, fica:


5) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem-se formar com 0, 1, 2, 5, 6, 8 e 9 ?
Resolução:
A atenção, nesse exercício, deve ser redobrada pelo fato do número formando ter de ser par, isto é, 231 é um número ruim e 234 é um número bom para nossa contagem. 434 também é um número ruim e não deve ser incluído em nossa contagem.
Apesar de ser par contém algarismos repetidos, contrariando a restrição acima (algarismos distintos).
Vamos começar então dirigindo toda a atenção a última casa da direita, pois sabemos que quando ela contém um algarismo par todo o número será par. Observe

Assim poderíamos concluir rapidamente que podemos obter 4 (4ª casa) x 6 (3ª casa) x 5 (2ª casa) x 4 (1ª casa) que é igual a 4 x 6 x 5 x 4 = 480 números pares.
No entanto, esse raciocínio é falso, por quê ?
O problema esta novamente com o zero! Imagine se por um acaso escolhemos o zero para a última posição. Dessa forma o número seria um par e não começaria com o zero, já que ele ficou na última casa. Se por outro lado, não escolhêssemos o zero para a última casa criaríamos, sem intenção, uma dificuldade. Se não aparecer na última casa, o zero não pode aparecer na primeira. Números tais como 0124 são ruins. Desse modo devemos garantir que o zero não apareça na primeira casa. Esse foi o erro do raciocínio anterior. Não garantimos que o zero não apareceria na primeira casa.
Para contornar essa situação vamos dividir esse problema em casos. Isto é, em dois eventos diferentes. Observe:
Como temos que ter atenção redobrada com o zero, consideremos os casos:
1º caso: Números pares terminados em zero;
2º caso: Números pares não terminados em zero.
Desse modo não deixaremos de contar nenhum número e nem contaremos a mais.
Vamos aos cálculos
1º caso: Com o zero na última casa

Desse modo teremos 1 opção para a quarta casa (pois só o zero pode), 6 opções para a terceira casa ( pode qualquer um menos o zero), 5 opções para a segunda casa ( não pode o zero nem o utilizado na terceira cada), 4 opções para a primeira casa (só pode os não utilizados anteriormente).
Assim teremos formados 1 x 6 x 5 x 4 números pares terminados em zero.
2º caso: Sem o zero na última casa

Assim na última casa há 3 opções de escolha (todos algarismos pares menos o zero). Agora vamos para a segunda casa problemática – a primeira – nela não se pode inserir nem o algarismo utilizado na última casa nem o zero. Assim teremos 5 opções. Terminando: na segunda 5 opções (nem o utilizado na última nem primeira casa. Zero, nessa casa pode), na terceira 4 opções (qualquer algarismo menos os utilizados anteriormente).
Desse modo fica 3 x 5 x 5 x 4 números pares que não terminam em zero.
Finalmente para sabermos quantos números pares podemos formar basta somarmos os resultados do 1º e 2º caso. Teremos:
1 x 6 x 5 x 4 + 3 x 5 x 5 x 4 = 120 + 300 = 420 números pares de quatro algarismos distintos

Para você resolver
1) Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:
a)Quantos números naturais de cinco algarismos podem-se formar?
b)Quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem-se formar?
c)Quantos números naturais de 6 algarismos podem-se formar começando com 1,2 e 3 em qualquer ordem?
d)Quantos números naturais podem-se formar, com no máximo cinco algarismos distintos?
e)Qual o número máximo de linhas telefônicas uma companhia da área pode fornecer aos moradores de uma cidade cujo código inicial da cidade é 3523 seguidos de 4 dígitos?
f)Nessa mesma cidade quantos telefones têm os quatro últimos dígitos iguais? E diferentes entre si?
g)Quantos números de quatro dígitos distintos, exceto os das extremidades que devem ser iguais, podemos formar? . Ex: 3463, 1231, 4764, etc.
h)Quantos números naturais podem ser formados em forma de um palíndromo constituído de oito algarismos? Palíndromo é uma seqüência formada de modo que os elementos eqüidistantes dos extremos sejam iguais.Exemplo as palavras Ana; anilina; mussum; arara, mirim, mutum, radar, rotor, reter, rever, iriri, somos; salas e os números 323; 121; 1221; 123321; 1234554321; 1234321. É interessante notar que palíndromos pode ser lidos da esquerda para a direita ou ao contrário e produzem o mesmo sentido.
i)Quantos números naturais em forma de um palíndromo constituído de oito algarismos podemos formar, de modo que esses números comecem com o algarismo 1(um)?
j)Quantos números naturais em forma de um palíndromo constituído de cinco algarismos podemos formar de modo que três desses algarismos sejam distintos?
k)Quantas palavras em forma de um palíndromo constituídas de dez letras podemos formar de modo que a terceira casa da direita seja uma vogal?(Considere o alfabeto latino com 26 letras)

6) Uma senhora dispõe de seis blusas, quatro saias e três sapatos. De quantos modos distintos ela pode se vestir?
7) (UFBA) Existem cinco ruas ligando os supermercados S1 e S2 e três ruas ligando S2 e S3. Para ir de S1 a S3, passando por S2, o número de trajetos diferentes que podem ser utilizados é:
a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3
8) (MACKENSE-adaptada) Se uma sala tem cinco portas, o número de maneiras distintas de se entrar nela por uma porta e sair por outra diferente é:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
9) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A à C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?
a) 144 b) 12 c) 24 d) 72 e) n.r.a.
10) (Taubaté) Cinco sinaleiros estão alinhados. Cada um tem três bandeiras: uma amarela, uma verde e uma vermelha. Os cinco sinaleiros levantam uma bandeira cada, ao mesmo tempo, transmitindo-se assim um sinal. Os números de sinais diferentes que se pode transmitir é:
a) 15 b) 125 c) 243 d) 1215
11) Dez times participam de um campeonato de futebol. De quantas formas se podem ter os três primeiros colocados?
12) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.
13) (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16
14) De quantos modos possíveis pode-se formar um produto de dois números naturais maiores que 1 que resulte em:
a)16 b) 14 c) 64 d) 128
15) (FCMMG) Observe a figura. Nessa figura está representada uma bandeira que deve ser pintada com duas cores diferentes, de modo que a faixa do meio tenha cor diferente das outras duas faixas. O número de maneiras distintas de pintar a bandeira desse modo, utilizando as cores azul, preta, vermelha, amarela, verde e branca é:
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
16) (FCMMG) Observe a figura. Nela está representada a planta de um cômodo contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda e 4 na terceira. Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é
A)11
B)23
C)32
D)60
17) (PUC-Campinas) Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem repetição, quantos números pares de três algarismos distintos e maiores que 234 pode-se formar?
A) 110 B) 119 C) 125 D) 129 E) 132
18) (UFMG) O total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000, é:
a) 576 b) 648 c) 728 d) 738
19) (UFMG) O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos, é:
a) 250 b) 321 c) 504 d) 576
20) (PUC) O quantidade de números de três algarismos maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3,5,6,7 e 9, com repetição, é igual a:
a) 10 b) 20 c) 48 d) 64 e) 100
21) (UFMG) Numa cidade A, os números de telefones têm sete algarismos, sendo que os três primeiros constituem o prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 são reservados para farmácias e os que os dois últimos algarismos são iguais, para médicos e hospitais. A quantidade dos demais números de telefones disponíveis na cidade A é:
a) 1650 b) 2100 c) 4800 d) 8900 e) 9000
22) (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1,3,5,7 e 9 .O número 75391 ocupa, nessa posição, o lugar:
A) 21° B) 64° C) 88° D) 92º E) 120°

3 - Permutações
3.1 - Permutações simples
Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades formação de uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema.
Por exemplo, com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição) podemos formar?
Formar números, em primeira análise, nada mais é do que ordenar algarismos em fila. Desse modo, a resposta, como vimos no princípio multiplicativo é 3 x 2 x 1 = 6 números, pois, não houve repetição de algarismos.
Caso a repetição fosse permitida teríamos como formar 3 x 3 x 3 = 27 números, pois números como 222 anteriormente não permitidos foram, nesse ultimo caso, liberados em aparecer na contagem.
Outro exemplo de contagem no qual lançamos mão da ferramenta permutação simples é a contagem do número de anagramas que podem ser formados com alguma palavra.
Anagrama é um processo de troca de ordem das letras de uma palavra com o intuito de formar uma nova palavra (esta palavra formada pode ter sentido ou não). Por exemplo, da palavra roma vem o anagrama amor. A palavra TRAPO pode formar os anagramas:
PRATO .
RAPTO .
PARTO .
PORTA .
TROPA .
TRPAO .
POTRA .
...
...
...
Esses são apenas alguns dos anagramas que podemos formar. Repare que alguns fazem sentido outros não.
Imagine agora que você tem a missão de contar todos os anagramas da palavra Trapo.
Uma das maneiras de realizar essa tarefa é listar, como vinha sendo feito anteriormente, todos os anagramas da palavra trapo e em seguida contar a dedo todos eles. Mas com certeza esse processo não é uma boa técnica, já que o número de anagramas vai ser relativamente alto. Como não podemos repetir as letras da palavra e todas as letras devem ser utilizadas uma boa técnica de contagem é o uso das permutações simples. Observe:
1º ) A palavra TRAPO contém 5 letras. Dispostas da esquerda para a direita são cinco posições as quais uma letra de cada vez preenche cada posição:

Por exemplo, no anagrama RAPTO a letra R ocupou a primeira, A a segunda, P a terceira, T a quarta e O a quinta e última posição.
Resta agora, depois do exposto acima verificar quantas possibilidades de escolha dispomos para a 1ª posição, para a 2ª e assim sucessivamente.
Para a escolha de uma letra para a 1ª posição temos cinco letras disponíveis. Optaremos por uma. Desse modo restarão quatro letras disponíveis para a escolha da letra da 2ª posição. Optaremos por uma outra letra. Para a terceira haverá três opções. Para a quarta duas. E para a quinta e última uma opção. Finalmente devemos multiplicar esses valores encontrados:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas da palavra trapo.
Como foi mencionada a listagem de todos os anagramas é inviável devido ao numero elevado.
É importante notar que no exemplo dos números encontramos como resposta o produto 3 x 2 x 1 e nesse último também obtivemos um produto do mesmo tipo : 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Esse é um importante resultado em combinatória. Em problemas que a ferramenta permutações simples for utilizada encontraremos resultados como os acima.
Para generalizar, toda vez que tivermos com a missão de dispor objetos distintos em ordem, em fila, isto é, formar uma seqüência, estaremos utilizando permutações simples, observe:
Exemplos:
1) De quantos modos distintos podemos formar uma fila com 3 pessoas?
Resolução:
A resposta, depois de todas as considerações anteriores, é imediata: 3 x 2 x 1 = 6 filas
2) De quantos modos diferentes podemos dispor 5 pessoas em fila?
Resolução:
Pelo mesmo raciocínio: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 modos ou filas diferentes.
3) De quantos modos diferentes podemos formar uma fila com 15 pessoas?
Resolução:
Da mesma Forma: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1 307 674 268 000 filas.
4) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra MAGNÉTICO? O acento sempre acompanhará o E.
Resolução:
Resposta: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362 880 anagramas.
Podemos notar nos quatro exemplos acima que sempre multiplicamos um número natural pelos seus antecessores até o 1. Isto é, pegamos um número e sempre o multiplicamos pelo que tem uma unidade a menos do que ele, em seguida por outro que tem duas unidades a menos do que ele e assim sucessivamente até chegarmos no 1. Por exemplo



A primeira linha pode ser reescrita como a segunda.
Esse processo utilizado em permutações simples, o de multiplicar um número pelos seus antecessores até o 1 é chamado fatorial e existe um símbolo para representar que o produto é do tipo fatorial.
O produto 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 é um fatorial e pode ser reescrito como 9!, o sinal ( ! ) indica esse produto.
Da mesma forma o produto
15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
é igual a
15!
.
Com essa linguagem resumimos o produto, pois, basta indicar onde esse produto começa (15) e que é fatorial ( ! ).
Identicamente 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! e 3 x 2 x 1 = 3!.
É uma boa nomenclatura, muito pratica. Imagine a seguinte situação combinatória. Você está encarregado de dispor em fila cinco mil pessoas. De quantos modos pode realizar essa tarefa. A resposta como vimos nos exemplos acima sobre filas é igual a
5000 x 4999 x 4998 x 4997 x 4996 x ... x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5000!
segue esse produto de antecessores do 5000 até que se chegue no 1. Desse modo podemos resumir esse resultado com a linguagem fatorial. Assim, fica simplesmente 5000! (cinco mil fatorial).
Para generalizar se devemos dispor n objetos em fila teremos n! (n fatorial) maneiras distintas de dispormos esses n objetos, Simbolizaremos assim:
Para terminar quanto vale 1! e 0!?
1! = 1 Podemos pensar combinatoriamente e nos indagarmos sobre a quantidade de maneiras de dispormos (1) objeto em fila. Existe uma única maneira. Dessa forma 1! = 1
0! = 1 Podemos pensar, utilizando combinatória, de quantos modos podemos colocar 0 (zero) objetos em fila. Esta resposta é polêmica, mas é bem aceitável. Como não há objetos podemos realizar esse ato de uma maneira - não construindo a fila. Quem pensou que 0! = 0 não cometeu um erro, pois provavelmente imaginou que não há nenhuma fila a ser construída. Dessa forma, devemos ter em mente que 0! = 1 é uma convenção. Daqui em diante consideraremos 0! = 1 e não igual a zero, pois considerando a primeira alternativa evitamos problemas posteriores.
Novamente, a ferramenta permutações simples deve ser utilizada para contar as possibilidades de formação de uma fila (ou seqüência) quando não houver elementos repetidos e forem utilizados todos os elementos em questão. Se quiséssemos, por exemplo, contar os anagramas da palavra AMIZADE não poderíamos utilizar tal ferramenta, pois a letra A aparece repetida duas vezes. Portanto elemento repetido. Outro exemplo em que o uso de permutações simples é indevido seria, por exemplo, formar números de três algarismos distintos utilizando 3, 4, 5, 6. Uma vez que só utilizaríamos três algarismos e dispomos de quatro. Dessa forma não utilizaríamos todos os elementos fornecidos.

Exercícios resolvidos – Questões de vestibulares
A partir da palavra NÚMEROS (o acento sempre acompanhará a letra u), responda:
a) Quantos anagramas são possíveis de serem formados?
b) Quantos anagramas têm como primeira letra uma vogal?
c) Quantos anagramas começam e terminam em vogal?
d) Quantos anagramas começam com n?
e) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras n e u juntas e nessa ordem?
f) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras u e n juntas?
g) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras n, u e m juntas e nessa ordem?
h) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras n, u e m juntas?
Resolução:
a) Quantos anagramas são possíveis de serem formados?
A palavra NÚMEROS tem 7 letras, desse modo devemos formar uma seqüência com essas 7 letras, pode realizar esse processo de P7 = 7! maneiras distintas.
b) Quantos anagramas têm como primeira letra uma vogal?
Nesse item devemos preencher sete posições com sete letras e garantir que qualquer anagrama formado tenha uma vogal como primeira letra. Assim devemos começar pela primeira casa, onde há a restrição, observe:

Para você resolver
23) Considere a palavra VESTIBULAR
A) Quantas Permutacões podemos formar?
B) Quantos anagramas começam por VES?
C) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas e nesta ordem?
D) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas?
E) Quantos anagramas começam e terminam por vogal?
F) Quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal?
G) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
H) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante?
24) De quantas maneiras podemos formar uma fila com:
a) 5 pessoas?
b) 10 pessoas?
c) 15 pessoas com um casal sempre juntos?
d) 15 pessoas com um casal sempre juntos e a esposa antes do marido?
e)10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos?
f)10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos e as esposas na frente dos maridos?
g) 70 bonecos diferentes?
h) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho sempre na frente dos bonecos vestidos as demais cores?
i) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho sempre juntos?
25) Num varal de roupas linear com um só fio, deseja-se dispor 25 peças de roupas diferentes para secar. Dessa forma responda:
a) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição?
b) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição, de modo que as 10 calças fiquem sempre juntas?
c) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição, de modo que nenhuma das 5 camisas fiquem nas extremidades do varal?
26) (U.F. STA. CATARINA) O número de anagramas da palavra ALUNO, em que as consoantes ficam na ordem LN e as vogais na ordem AUO ê:
a)20 b)120 c)10 d)60 e)40
27) (FEl) Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.
28) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24 b) 48 c) 96 d)120 e)144
29) (UNIV. FED. BAHIA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número de arrumações possíveis dos 4 jogadores, durante toda a viagem, é:
A) 4 B) 8 C) 12 D) 24 E) 162
30) (S.J. CAMPOS) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da palavra VESTIBULAR, de modo que as vogais e as consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem?
31) (VIÇOSA) Seis pessoas em fila gastam 10 segundos para mudarem de ordem. O tempo necessário para todas as mudanças possíveis é:
A) 4h B) 2h C) 3h D) 5h E) 6h
32) Um garçon anotou as encomendas de 4 frequeses. Cada um pediu uma sopa, um prato principal, uma bebida e uma sobremesa. O garçon não anotou quais clientes pediram quais encomendas, lembrando-se apenas que cada um pediu uma sopa diferente, um prato principal diferente, uma bebida diferente e uma sobremesa diferente. De quantas maneiras diferentes ele poderá distribuir os pedidos entre os 4 clientes?
a)(4!)4 b) 4 x 4! c) 4! x 4! d) 416 e) 16! / 4!4!
33) (MACK) Um trem de passageiros é constituido de única locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restaurante, Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagâo restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:
A) 120 B) 320 C) 500 D)600 E) 720
34) (UNIV. CAT. PELOTAS) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Se apenas uma pessoa dirige, o número de modos que podem se acomodar no carro para uma viagem é:
A) 6 B)120 C) 36 D) 24 E) n.d.a.
35) (SÃO CARLOS) Quatro rapazes e uma moça formam uma fila. De quantas maneiras esta fila pode ser formada de modo que a moça fique sempre em 1º lugar?