Educação Matemática

Com a Professora Gloria Filgueiras.

sexta-feira, 4 de junho de 2010

Mais exercícios para estudar

1. Determine o 7.° termo do binômio (2x + 1)9,
desenvolvido segundo as potências decrescentes
de x.
Solução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral
de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como
queremos o sétimo termo, fazemos p = 6, na fórmula
do termo geral, e efetuamos os cálculos indicados.
Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6 . (1)6 = 9! /[(9–6)! . 6!] .
(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 =
672x3. Portanto o sétimo termo procurado é
672x3.

2. Qual o termo médio do desenvolvimento de
(2x + 3y)8?
Solução:
Temos a = 2x , b=3y e n=8. Sabemos que o
desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque
n = 8. Ora, sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o
termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto
termo). Logo o nosso problema resume-se ao
cálculo do T5 . Para isso, basta fazer p = 4, na
fórmula do termo geral, e efetuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8–4 . (3y)4 = 8! / [(8–4)! .
4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) .
16x4.81y4 Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4, que é o termo
médio procurado.
DESAFIO
01. (Fuvest) O jogo da sena consiste no sorteio
de 6 números distintos, escolhidos ao acaso,
entre os números 1, 2, 3,..., até 50. Uma
aposta consiste na escolha (pelo apostador)
de 6 números distintos entre os 50 possíveis,
sendo premiadas aquelas que acertarem
4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números
sorteados.
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro
para jogar, escolhe 20 números e faz todos
os 38760 jogos possíveis de serem realizados
com esses 20 números. Realizado o sorteio,
ele verifica que TODOS os 6 números
sorteados estão entre os 20 que ele escolheu.
Além de uma aposta premiada com a
sena,
a) quantas apostas premiadas com a quina
este apostador conseguiu?
b) Quantas apostas premiadas com a quadra
ele conseguiu?

02. (Unesp) Determinar quantos são os números
de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos
das centenas pertencem a
{1,2,3,4} e os demais algarismos a
{0,5,6,7,8,9}.

03. Calcular o número de anagramas da palavra
FUVEST que iniciam com vogal.

04. (Unicamp) Sabendo que números de telefone
não começam com 0 nem com 1, calcule
quantos diferentes números de telefone podem
ser formados com 7 algarismos.

05. (Unesp) Nove times de futebol vão ser divididos
em 3 chaves, todas com o mesmo número
de times, para a disputa da primeira fase
de um torneio. Cada uma das chaves já
tem um cabeça de chave definido. Nessas
condições, o número de maneiras possíveis
e diferentes de se completarem as chaves é:
a) 21 b) 30 c) 60
d) 90 e) 120

06. (Unitau) Na área de Ciências Humanas, existem
treze opções no Vestibular da UNITAU.
Um candidato tem certeza quanto à 1.a opção
mas, quanto à segunda, está em dúvida,
por isso resolve escolher, aleatoriamente,
qualquer uma nessa área. De quantas maneiras
ele poderá preencher sua ficha de
inscrição, sendo a 2.a necessariamente diferente
da 1.a?
a) 156 b) 144 c)13.
d) 169 e) 12.

07. (Unitau) Sendo A=C5,2 (combinação de 5
dois a dois), B=log0,01 e C=2–2, o valor da
expressão A.B.C é:
a) 1 b) 2 c)10
d) –5 e) 5

Exercicios de Binômio de Newton

1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Solução:
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer
p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4 


Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos .
Qual o valor de n?
Solução:
Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.
4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a) (2x - 3y)12 ?Resp: 1
b) (x - y)50 ?Resp: 0
Solução:
a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Solução:
Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
Exercícios propostos
1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?
2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ?
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
Clique AQUI para ver a solução.
5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6
c)10
d) 3
e) 4
6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos
é igual a:
Resp: 248
8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!
Resp: 24
9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.
10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.
Resp: 1024
Respostas:
1) T4 = 1512.x5
2) – 128
3) 6400
4) D
5) E
6) 8
7) 248
8) 24
9) 84
10) 1024
Exercicios copiados do site www.algosobre.com.br