Educação Matemática

Mais exercícios para estudar

1. Determine o 7.° termo do binômio (2x + 1)9,

desenvolvido segundo as potências decrescentes

de x.

Solução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral

de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como

queremos o sétimo termo, fazemos p = 6, na fórmula

do termo geral, e efetuamos os cálculos indicados.

Temos então:

T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6 . (1)6 = 9! /[(9–6)! . 6!] .

(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 =

672x3. Portanto o sétimo termo procurado é

672x3.

2. Qual o termo médio do desenvolvimento de

(2x + 3y)8?

Solução:

Temos a = 2x , b=3y e n=8. Sabemos que o

desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque

n = 8. Ora, sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o

termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto

termo). Logo o nosso problema resume-se ao

cálculo do T5 . Para isso, basta fazer p = 4, na

fórmula do termo geral, e efetuar os cálculos decorrentes.

Teremos:

T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8–4 . (3y)4 = 8! / [(8–4)! .

4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) .

16x4.81y4 Fazendo as contas vem:

T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4, que é o termo

médio procurado.

DESAFIO

01. (Fuvest) O jogo da sena consiste no sorteio

de 6 números distintos, escolhidos ao acaso,

entre os números 1, 2, 3,..., até 50. Uma

aposta consiste na escolha (pelo apostador)

de 6 números distintos entre os 50 possíveis,

sendo premiadas aquelas que acertarem

4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números

sorteados.

Um apostador, que dispõe de muito dinheiro

para jogar, escolhe 20 números e faz todos

os 38760 jogos possíveis de serem realizados

com esses 20 números. Realizado o sorteio,

ele verifica que TODOS os 6 números

sorteados estão entre os 20 que ele escolheu.

Além de uma aposta premiada com a

sena,

a) quantas apostas premiadas com a quina

este apostador conseguiu?

b) Quantas apostas premiadas com a quadra

ele conseguiu?

02. (Unesp) Determinar quantos são os números

de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos

das centenas pertencem a

{1,2,3,4} e os demais algarismos a

{0,5,6,7,8,9}.

03. Calcular o número de anagramas da palavra

FUVEST que iniciam com vogal.

04. (Unicamp) Sabendo que números de telefone

não começam com 0 nem com 1, calcule

quantos diferentes números de telefone podem

ser formados com 7 algarismos.

05. (Unesp) Nove times de futebol vão ser divididos

em 3 chaves, todas com o mesmo número

de times, para a disputa da primeira fase

de um torneio. Cada uma das chaves já

tem um cabeça de chave definido. Nessas

condições, o número de maneiras possíveis

e diferentes de se completarem as chaves é:

a) 21 b) 30 c) 60

d) 90 e) 120

06. (Unitau) Na área de Ciências Humanas, existem

treze opções no Vestibular da UNITAU.

Um candidato tem certeza quanto à 1.a opção

mas, quanto à segunda, está em dúvida,

por isso resolve escolher, aleatoriamente,

qualquer uma nessa área. De quantas maneiras

ele poderá preencher sua ficha de

inscrição, sendo a 2.a necessariamente diferente

da 1.a?

a) 156 b) 144 c)13.

d) 169 e) 12.

07. (Unitau) Sendo A=C5,2 (combinação de 5

dois a dois), B=log0,01 e C=2–2, o valor da

expressão A.B.C é:

a) 1 b) 2 c)10

d) –5 e) 5